第四十五章 望月新一

    一般情况下，数论领域的猜想表述起来都比较精确直观。

    比如已经被安德鲁·怀尔斯证明了的费马大定理，可以直接表示为：当整数n >2时，关于x， y， z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。

    又比如大名鼎鼎的哥德巴赫猜想，一句话就能看懂：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

    但ABC猜想却是个例外。

    它理解起来非常抽象。

    简单地说，就是有3个数：a、b和c =a+b，如果这3个数互质，没有大于1的公共因子，那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的d，看似通常会比c大。

    举个例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。

    这3个数是互质的，那么不重复的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。

    大家还可以实验几组数，比如：3+7=10，4+11=15，也都满足这个看起来正确的规律。

    但是，这只是看起来正确的规律，实际上存在反例！

    由荷兰莱顿大学数学研究所运营的ABC@home网站就在用基于BOINC的分布式计算平台分布式计算寻找ABC猜想的反例，其中一个反例是3+125=128：其中125=5^3 ，128=2^7，那么不重复的质因子相乘就是3*5*2=30，128比30要大。

    事实上，计算机能找到无穷多的这样反例。

    于是我们可以这样表述ABC猜想，d“通常”不比c“小太多”。

    怎么叫通常不比c小太多呢？

    如果我们把d稍微放大一点点，放大成d的（1+ε次方），那么虽然还是不能保证大过c，但却足以让反例从无限个变成有限个。

    这就是ABC猜想的表述了。

    ABC猜想不但涉及加法（两个数之和），又包含乘法（质因子相乘），接着还模糊地带有点乘方（1+ε次方），最坑爹的是还有反例存在。

    因此，这个猜想的难度可想而知。

    事实上，除了尚未解决的涉及多个数学分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，其他数论中的猜想，诸如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，以及已经解决的费马大定理，基本上都没有ABC猜想重要。

    这是为何呢？

    首先，ABC猜想对于数论研究者来说，是反直觉的。

    历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。

    一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。

    举一个简单的例子：牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持目前的运动状态，这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。

    物体不受力状态下当然会从运动变为停止，这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。

    而实际上，这种想法，在任何一个于20世纪学习过初中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看，都会显得过于幼稚。

    但对于当时的人们来说，惯性定理的确是相当违反人类常识的！

    ABC猜想之于现在的数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于十七世纪的普通人，更是违反数学上的常识。

    这一常识就是：“a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。”

    原因之一就是，允许加法和乘法在代数上交互，会产生无限可能和不可解问题，比如关于丢番图方程统一方法论的希尔伯特第十问题，早就被证明是不可能的。

    如果ABC猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。

    再者，ABC猜想和其他很多数论中的未解问题有着重大联系。

    比如刚才提到的丢番图方程问题、费马最后定理的推广猜想、Mordell猜想、Erdős–Woods猜想等等。

    而且，ABC猜想还能间接推导出很多已被证明的重要结果，比如费马最后定理。

    从这个角度来讲，ABC猜想是质数结构的未知宇宙的强力探测器，仅次于黎曼猜想。

    一旦ABC猜想被证明，对于数论的影响之巨大，无异于相对论和量子物理之于现代物理学。

    正因为如此，2012年望月新一声称自己证明了ABC猜想时，才会在数学界引起这么大的轰动。

    望月新一1969年3月29日出生于日本东京， 16岁进入美国普林斯顿大学就读本科，三年后进入研究生院，师从著名德国数学家，1986年菲尔茨奖得主法尔廷斯，23岁（即1992年）获得数学博士学位。

    即使在向来严格和毒舌的法尔廷斯眼中，望月新一也堪称他的得意门生之一。

    1992年，因为性格比较孤僻古怪，不适应美国文化，望月新一返回日本，担任京都大学数理解析研究所研究员。

    期间，望月新一在“远阿贝尔几何”领域做出卓越贡献，并因此受邀在1998年的柏林国际数学家大会上发表一小时的演讲。

    1998年之后，望月新一开始将所有精力都投入到ABC猜想的证明中去，几乎在数学界销声匿迹。

    一直到2012年，望月新一发表512页的ABC猜想证明论文，才再次引发数学界大规模关注。

    从某种程度上说，望月新一与佩雷尔曼有点类似，只是佩雷尔曼成功地证明了庞加莱猜想，而望月新一的ABC猜想证明，却并没有得到数学界的认可。

    望月新一研究ABC猜想的理论工具，便是远阿贝尔几何。

    因此，在研究望月新一ABC猜想论文之前，庞学林还让田牧找来了望月新一关于远阿贝尔几何的相关著作。

    远阿贝尔几何由代数几何教皇格罗滕迪克于二十世纪八十年代创建，是数学界一门非常年轻的学科。

    这门学科的研究对象是不同几何物体上的代数簇的基本群的结构相似性。

    近代分析学之父巴纳赫说：“数学家能找到定理之间的相似之处，优秀的数学家能看到证明之间的相似之处，卓越的数学家能察觉到数学分支之间的相似之处。最后，究级的数学家能俯瞰这些相似之处之间的相似之处。”

    格罗腾迪克，便称得上是真正意义上的究级数学家，远阿贝尔几何便是一门研究“相似之相似”的数学分支。

    从十六世纪意大利数学家费罗和塔尔塔利亚发现一元三次方程的求根公式（即卡尔丹诺方程），到十九世纪伽罗瓦发现特殊高次方程解的群结构。

    代数几何中的代数簇，则是一大类方程的公共解。

    代数簇的基本群，则是对于已经综合了一大类理论的代数簇理论的再一次综合，关心什么样的结构独立于几何物体的代数簇的表象之外。

    于是乎，对于数学家来说，检查望月新一的证明是否存在错漏的另外一个难题就是：要透彻理解望月那512页的ABC猜想的证明，需要先弄懂望月新一关于远阿贝尔几何的750页的著作！

    全世界总共只有约50名数学家在这方面有足够的背景知识去通读望月新一这本远阿贝尔几何著作，更别提望月在证明猜想中建立起来的“一般化泰希米勒理论了。

    到目前为止，这一理论只有望月新一自己能搞明白。

    庞学林没指望自己能在短短几年时间里将ABC猜想研究透彻，他只想利用自己在火星的这几年时间里，搞明白望月新一研究ABC猜想的相关思路，寻找论文中的错漏之处。

    当然，如果能从中得到什么灵感，那就再好不过了。
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